译文|用期权定价公式为“状况或有证券”定价

译者

南湖互联金融学院祝小全

本文译自罗伯特·默顿教授在麻省理工大学斯隆商学院开设的课程“AssetManagement,LifecycleInvestingandRetirementFinance”第7讲“ExtractingForward-LookingRiskandReturninformationfromDerivativesPrices”。

这一模块的宗旨是从期权定价公式和蝶式期权战略中提取信息,进而对状况或有证券进行定价。相似的使用见黄奇辅和李兹森伯格·罗伯特合著的金融经济学根底(FoundationforFinancialEconomics)。

在布莱克-斯克尔斯国际(Black-ScholesWorld)中,阿罗-德布鲁证券(Arrow-DebreuSecurity,简称AD证券)能够从期权组合中提取信息并进行定价,而任何杂乱证券的收益都能够用AD证券的组合来仿制,所以相当于用期权组合完成了齐备商场中所有证券的定价。

设想如下情形:存在一个状况或有证券,付出收益的触发条件为:在时间T时,假如股票价格处于E+0.005美元和E-0.005美元之间时(E为履行价格),就付出给出资者1美元的收益。怎么对该状况或有证券进行定价?不失一般性,假如能对股票价格处于E+e美元和E-e美元之间(e为接近于零的小量)就触发付出的状况或有证券用蝶式期权战略进行定价,那么只需令e=0.005,上述具体问题即方便的解决。

考虑一个蝶式期权战略:

1)购买一个履行价格为E-e的看涨期权,到期日为T;

2)卖出2个履行价格为E的看涨期权,到期日为T;

3)购买一个履行价格为E+e的看涨期权,到期日为T。

如图1所示,坐标X1=E-e,X2=E,X3=E+e,歪斜部分斜率为+1的两条虚线分别为购买一个履行价格为E-e的看涨期权的收益和购买一个履行价格为E+e的看涨期权的收益,歪斜部分斜率为-2的虚线为卖出2个履行价格为E的看涨期权的收益。归纳来看,蝶式期权战略的收益如图1中的实线所示。

当实线坐落水平坐标轴上方时,蝶式期权战略完成正收益,该部分的面积为:

蝶式期权战略在价格环绕E动摇较小时,即股价动摇规模在(E-e,E+e)内时能够完成正收益;一旦股价动摇超越该规模,蝶式期权战略也或许呈现亏本。从全体看,蝶式期权战略的净收益为图1实线左右两头水平线相夹构成的三角形的面积,即

图1蝶式期权战略

在时间T,蝶式期权战略的收益为(记T时间财物价格为V(T)):

1)若V(T)≤E-e,则收益为0;

2)若E-e≤V(T)≤E,则收益为V(T)-E+e;

3)若E<V(T)≤E+e,则收益为2(E-V(T))+V(T)-E+e=E-V(T)+e;

4)若V(T)>E+e,则收益为0。

假定到期日价格变化的无量小量的步长为e,则发生1单位付出的看涨期权的出资组合为:

函数F即期权定价公式:

参数d1和d2的界说为:,。其间,N(d1)和N(d2)分别为随机变量V从负无量到d1、d2的累积散布函数值。

那么在t时间,AD证券单位步长的头寸价值为:

假定一期财物价格散布接连,看涨期权价格对履行价格二阶可微,则当无量小量e→0时,有:

即:

依据微分的原始界说,这儿F关于E的二阶导数有限,意味着T时间状况或有证券的价格为0。理论大将F函数关于E的二阶导函数当作付出1单位收益的状况或有证券的价格密度(即概率密度函数),而极限含义下的二阶导函数值,恰是点V(T)=E处的概率密度函数值。

(完)

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